纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是一种生活 比较松散的数据形态学 。它有某些节点(vertice),在某些节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也经常经常出现过,亲戚亲们通常在节点中储存数据。边表示有另一个多多 节点之间的处在关系。在树中,亲戚亲们用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是一种生活 特殊的图,但限制性更强某些。

之后的一种生活 数据形态学 是很常见的。比如计算机网络,之后由某些节点(计算机可能路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统不上都能能理解为图,地铁站不都能能认为是节点。基于图有某些经典的算法,比如求图富含另一个多多 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥哪些地方的什么的问题(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市富含每根河流过,河暗富含另一个多多 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和有另一个多多 小岛。送信员总想知道,有这样一有另一个多多 土土办法,能不重复的走过7个桥呢?

(什儿 哪些地方的什么的问题在某些奥数教材中称为"一笔画"哪些地方的什么的问题)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的不都能能看作由7个边和有另一个多多 节点构成的一有另一个多多 图:

什儿 哪些地方的什么的问题最终被欧拉巧妙的处置。七桥哪些地方的什么的问题也启发了一门新的数学得科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,可能某个节点都不 起点可能终点,这样连接它的边的数目时需为偶数个(从一有另一个多多 桥进入,再从之后桥离开)。对于柯尼斯堡的七桥,可能有另一个多多 节点都为奇数个桥,而最多非要有有另一个多多 节点为起点和终点,之后可能一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。一有另一个多多 图的所有节点构成一有另一个多多 集合[$V$]。一有另一个多多 边不都能能表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即有另一个多多 节点。可能[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,这样图是有向的(directed)。有序的边不都能能理解为单行道,非要沿一有另一个多多 方向行进。可能[$(v_1, v_2)$]无序,这样图是无向的(undirected)。无序的边不都能能理解成双向都不都能能行进的道路。一有另一个多多 无序的边不都能能看作连接相同节点的有另一个多多 反向的有序边,之后无向图不都能能理解为有向图的一种生活 特殊请况。

(七桥哪些地方的什么的问题中的图是无向的。城市中的公交线路不都能能是无向的,比如处在单向环线)

图的一有另一个多多 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也之后说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为有另一个多多 节点。路径后边的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,亲戚亲们会在选泽某个路径,来从A站到达B站。之后的路径可能有不止每根,亲戚亲们往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤请况,来选泽每根最佳的路线。可能处在每根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,这样认为该图中处在环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中处在环路。

 

找到每根环路

可能从每个节点,到任意一有另一个多多 其它的节点,都不 每根路径语句,这样图是连通的(connected)。对于一有另一个多多 有向图来说,之后的连通称为强连通(strongly connected)。可能一有另一个多多 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,这样认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

可能将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,之后的图可能是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间这样路径相连。

图的实现

一种生活 简单的实现图的土土办法是使用二维数组。让数组a的每一行为一有另一个多多 节点,该行的不同元素表示该节点与某些节点的连接关系。可能[$(u, v) \in E$],这样a[u][v]记为1,之后为0。比如下面的一有另一个多多 包富含另一个多多 节点的图:

 

不都能能简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

什儿 实现土土办法所处在的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而迅速增多。可能边都不 很密集,这样之后数组元素记为0,非要稀疏的某些数组元素记为1,之后并都不 很经济。

更经济的实现土土办法是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,亲戚亲们建立一有另一个多多 链表。对于任意节点k,可能有[$(m, k) \in E$],就将该节点放上到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准土土办法。比如下面的图,

 

不都能能用如下的数据形态学 实现:

 

左侧为一有另一个多多 数组,每个数组元素代表一有另一个多多 节点,且指向一有另一个多多 链表。该链表包富含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表不都能能分为两每种。邻接表所处在的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组每种储存节点信息,处在[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,处在[$|E|$]的空间,即边的总数。在某些多样化的哪些地方的什么的问题中,定点和边还可能有某些的附加信息,亲戚亲们不都能能将哪些地方地方附加信息储处在相应的节点可能边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

后边的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是一种生活 很简单的数据形态学 。图的组织土土办法比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法多样化度。我将在之后介绍某些图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据形态学 ”系列